《東西文明會通之哲學要點:自然數及其意義之延伸》三十三、關於自然數及其意義之延伸（一）

史作檉先生以哲學「還原」（reduction）或導源方式，透過對「數」(「1」)序列無法窮盡性表達系統的反思，扣緊「第一項」(從「1」返回「0」的所謂「無數可數之數」)與「最末項」(從1 →向前到無限「∞」的所謂「數外之數」)的內涵探究，而提出f七點: (1) 由「數」的形式表達之「極限」(即「∞」)中所被「逼現」出來康托爾（Cantor）「最大的集合(Set)無法包含自體」原則。與(2) 必遭遇「矛盾」現象的哥德爾(Gödel)「不完備定理」（Incompleteness Theorems）其本體論意涵，即任何（完備）系統，當其形式設定之初，即無法含有「自體」性的第一項。(3) 也就是從以「統計」、「可能率」或「公設」等方法，去正視其「矛盾」、「不完備」、或「沒有自體」、或「∞」(一種數外之「數」)， (4)以及從「1」反思「0」(「無數可數之數」)所涉及的「形式之設定項」、「存在的第一項」」，或「發生項」的理想與根源之追求。(5)簡言之，即數學的真正追求就在「∞」（即一如Hilbert所言之完備系統），但在Gödel來說，這根本是不可能的事，因為任何（完備）系統，當其形式設定之初，即無法含有「自體」性的第一項。 (6) 如此，從數學一路發展，乃至到誕生computer、更進步到Ai，甚至擴大到東西方文明複雜，都會因此而共同走向一種「形式表達的遞減歷程」的普遍文明與人文的危機，從而去激發、去還原到「人」乃至與「自然」「朝存在回歸遞增」的直接關係，(7) 去證明其之「三元論」與突顯人自體(居中間項)的起承轉合的關鍵地位。(改寫黃信二先生之表述) 」 (2025年3月31日) 

三十三、關於自然數及其意義之延伸（一）

1、可理解的自然數如為：0、1、2、…⋯n、n+1⋯…∞

2、其中最為基本之可數之數為「1」。
3、「1」之特殊性在於它是自然數之起始項。
4、如無「1」的存在，其他數就難數出或數下去（一如Peano所言之successor) •
5、「1」如何形成事實上並無從得知或說明出來，所以它與「2」以後的數並不相同。
6、如為「2」即確定了「1」，然後向下數而出，其中最重要的問題在於「1」與「2」之間的關係、距離或單位，此亦一般所謂每加1必增之歸納性的自然數。
7、如「1」與「2」之間的關係、距離或單位為「1」（其實這也是數的序列中難以說明之事，如為何必為「必增」等等）。
8、如「1」與「2」的關係如此，2以後的數以此往下數，即可得3、4、5等等。
9、「n」與「n+1」只是以上自然數存在的一種代表性之設定項或方式。
10、其中最為特殊的數為∞，∞是否亦一數，是無法確定的，因有根據1而有的自然數中，並數不出一個如∞那樣最大的數。所以，它之於數，應該為一「數外之數」。
11、或所謂∞，可有三層內涵：
（1）它只是一個符號，而不是一個數。
（2）它是象徵自然數中最大數之可能。
（3）如它象徵自然數中最大數之「可能」，那它就不可能是自然數序列中之一數。所以，它若為「數」以其符號性言，它應為自然数序列以外之數。
12、∞若為數外之一數，可以拿它來數0與I之間不可以以1以後之自然數來數之數。
13、我們之所以可以這樣做，是因為0與∞一樣，是自然數中難以說明清楚並有所確實把握之如1或N之可清楚說明並有所把握之數。
0與∞之性質近似，那就是說，0之為0，它亦有三種性質：
（1）「0」與「1」間之不同，一如∞，它不是一個我們所習慣之1-N項之數，至少我仍很難說它是一正整數。
（2）「0」既不同於「1」，若與「1」而比，它更似使「1」以後之數成為可能之一種數之起始數，若具體言，即一數之「發生項」。
（3）若「0」與「1」之為數有如此不同，那麼0與1之關係就不同於1與2之間之關係，於是我們亦不能如數1以後之數之數來數；那麼，其唯一之方法，必如同∞為一數外之數般，我們亦必不能以1後之自然之數之數法來數0與1之間之數，換言之，必以自然數以外之數來數，無他，即以∞而數（其實這就是集合論成立之一個基本觀念）。
15、因為「O」與「1」之間之數，涉及數之「基礎」「發生」或真正具有存在性「第一項」的問題，所以必以數外之數來數，等於是以∞來數0與1之間之數。
16、數如以∞而數，等於是集合數以無窮來數無無窮，其結果即無窮之無窮，或∞與∞。
17、若以一般自然數言∞，或∞與∞、∞個∞，這些∞，若相對一般自然數而言，無所謂大小等等。但在真正作為自然數基礎之∞，或∞個∞而言，其情況可能有所不同。
18、若以∞，或∞與∞本身而言，它設有任何形式上之限制或關係的存在，或具體言之，它就是一種真正的直覺或真具原創性的任意或選擇。
19、若就一般而言，自然數是一種直覺主義之數，而非結構，但優點如上所言，種種0與1、1與∞、0與∞，甚至是1與2，n與n+1間之形式表達，如果它們不但都與∞相關，甚至∞更是它們成立之隱含的基礎的話，那麼真正的直覺基礎可能不是1、2、3..或n、n+1等等，而是∞本身。
20、若∞果為自然數之直覺性之基礎，那麼它就可以有比自然加一必增之歸納數更自由，甚至是任意之選擇性的表達方式。
如：∞→∞→∞→⋯⋯或：

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.

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∞

∞

∞

當然它若以我們所曾知之自然數而言，亦可指：
∞1→∞2→∞3→……①
21、∞如此，那麼以∞為直覺基礎之自然數本身又將為何？在觀念或形式上來說，都應該為：1∞→2∞→3∞→⋯ ⋯②
22、明瞭了以上關於自然數與∞之間之關係後，最後為了實際應用之形式上的方法，自然數會寫為：1→2→3⋯⋯③，是有其道理的。
23、統括以上所言，可知自然數是一個具有繁複難解之直覺性的內在結構和基礎才得以形成的。其中最難說清楚的仍無非在於那個它既不是一個正整數，卻又不能不把它當成數來處理的∞身上了。
24、舉一個最明顯的例子，那就是：「質數」可說是紀元前數百年歐幾里得（Euclides）即已發現的問題，至今至少兩千多年了，質數到底有多少個，而它的出現有無規律可言，或到底有沒有一個最後的質數？等等。所有這些難題，如果說，自然數中果然有一個「最大數」之可能的話，我想它都可以迎刃而解了。可是到今日為止，這似乎仍是一個無解之數學中的難題。
25、再如集合論，它與自然數全然不同，因為它的基礎就是「無窮」，但是它會畫一個括號，什麼東西都可以放進去，不只是數，甚至任何東西都可以放進去，所以「無窮」也可以放進去，最後它就可以朝著無窮個無窮的路線走，為：
.

.

.

∞

∞

∞

可是最後它仍無法找到一個真正最大的「無窮」，即以不含其「自體」，而如「∞」一樣地走入矛盾的深淵。
26、其實「矛盾」的形成或出現，在西方拼音文字要求合理而精確的數學系統是一件嚴重的事，因為他們太相信並依賴數學的表達了。同時在另一方面，他們在「矛盾」與「無限」間所下的功夫、努力，尤其自希臘以來，至17世紀，尤其是20世紀，由數學家的努力與天才的發揮所得到的結果，更令人驚心動魄，確實已達到了人類有史以來的未曾有的高度的科學成果。
27、從希臘幾何學開始，通過中世紀之天文學，到十七世紀後之笛卡爾（Descartes）之座標幾何（Analytic Geometry），牛頓（Newton）之微積分（Calculus），再到20世紀希爾伯特（Hilbert）之公設法（Axiomatic），康托爾（Cantor）之集合論（set theory），黎曼（Riemann）之非歐幾里得幾何（Non-Euclidean Geometry）[1]，再加上物理之配合，量子力學（Quantum Theory）、相對論（Relativity）。西方文明終於造就了囊括math與文明內涵之人類歷史上最偉大的工具或machine。它是西方文明真正征服了全世界文明之最為人所遍在實用之工具，它就是computer。從西到東，從內到外，從形式到內容，甚至不分男女老幼人手一機之生活必需品。看到這情形，我們只有說「佩服」並甘願被其文明所同化，想也不為過。
28、從此我們再回到本文開始所提到之以最簡明之方式看文明或東西文明有關之自然數，我們會清楚地發現，西方文明一直是在「1」之為一確定之基本數的基礎上，向前找出各種數的可能（如數論所言），並理想地奔向∞，至少可求到一個具有完全一致性的完備系統。或以最大公設之基礎設定，以推演出所有數學定理的可能來；只可惜這種出現在20世紀之西方文明（主要在數學）之理想被Gödel一條定理打碎了（即不完備原理）。即使如此，西方科學的天才們仍舊可以各種技術上的操作，避開了「矛盾」、「不完備」、或「自體」與「∞」的理想追求；以「統計」、「可能率」或「公設」等方法，為人類開拓出了不可思議的既客觀而又合理之近於完備的偉大成果：如量子力學、相對論、電腦等。當然它們之所以有此成果，基本上仍在於數學，尤其是在西方來說，那就是一條永不休止之從「1→∞」的追求之路，（如∞達不到，仍有Lim可作為他們借力向上發展之方式）。
29、如果以自然數的意義延伸之方式，來看西方文明之發展，其要點在於確定「1」為起始點，而向∞之理想可能而進行的話，這也並不是說，它對於「1」與「0」之間所涉及之數之「發生項」、「第一項」、甚至是「自體項」之可能與意義並不注重或無所真知；反之，而是說，其以拼音文字之歷史事實，早已確定了其文明發展之傾向於精確而合理之認知性的道理。具體來說，它自然對於「O」一數的操作或定義，並不是那麼認真而注意，所以即便是在Peano重新設定數的基礎時，他只把「0」也寫作是一個數一樣地也可有其後繼數如「1」。這樣一來，「O」與「1」如果都拿來當作是一個一般數的話，這在數之「自體性」的探討上就會成為一種「曖昧不明」之勢。
30、此文寫到此處，不能再像上面這樣饒舌般地說下去了，要想更清楚地結束此文，並回到此文題目上所指關於自然數之意義的延伸原義，下面就應該直接了當地說出此文原本以設計的方式或其延伸的原意來，它是說：數「數」的方式有兩種或兩個方面：
（1）一個方面是以「1」為基礎往前數，直到無限可能之∞為止。其實這就是一條西方文明發展的一種基本模式，其中再加上公設法及集合論，可以說把這個「方向」上的數學發揮到淋漓盡致，若再加「極限」（Lim）及「機率學」（如統計力學等），更造就了西方文明中「量子力學」與「相對論」等很少人能徹底瞭解之至高成就。
（2）另一方面是以「1」為基礎向後數。如果向前數，其極限是∞，那麼向後數，其極限即「O」。所以「O」與「∞」同時都是「數」之內特殊的數，或它根本就不是一個「數」。同時也因此我仍可以把「∞」稱之為數外之「數」。
同時，所謂「O」若相對自然數或「∞」之為數外之一數的話，那麼「0」就是無數可數之數。或具體來說，它就是一個中華文明所習稱之「無」或空無」的觀念。
31、由此可知，兩種不同數「數」的方向，所說明的就是兩種不同文化的存在，而其中成為關鍵性的關係詞，多由西方文明之代表性的數學的發現並清楚地表示出來，或許其中最重要的一個概念就是做「自體」（即Set不含其「自體」）。他如「形式之設定項」、「存在的第一項」，甚至是「發生項」，也多由數學之形式性表達之極限中被逼現出來。若具體來說，即：自然數中之「1」，實際上，只是一形式之設定第一項，更非一存在之第一項，或不含一「發生項」可能在內，其後果即：所有「形式」項均不包含其自體。這樣一來，所有第一方向之形式表達之極限之「自體」項就自然地與第二方向之「O」、「無」或「空無項」連結到一起了。
32、「自體」是連結東西文明之最直接而清楚之關鍵，其中之不同，只在於：一是「形式性」表達之「自體」（如科學、數學或認知）。一是「存在性」表達之「自體」（如屬人、想像、直覺或生命）。存在性之「自體」有兩種：
一屬「人自體」，一屬「自然自體」。人自體實際上也不是真正的自體，因為「人」亦是被造物，而非「自造」，此事令人產生許多誤導。即：東方或禪宗很容易使人覺得可以「冥想」或「頓悟」達成其完全自體之理想。
其實不是，因為不論「冥想」或「頓悟」都只是一種方法，而非業已達成其方法與自體內容全然一致而完備的程度或系統。反而不如「形式自體」可清清楚楚地分辨「真自體」和「形式自體」之間的分界與各相關的限制，如「矛盾」的認定等。
33、弄清楚了這些事物：我們便可以清楚地知道，所有因人而有之事物都無非是一種「方法」「認知」或是一種形式之設定物，只是有時它會「偏向」於某一種對象性之事物而操作或發展，有時它偏向於「人」本身存在的方向發展，有時它會偏向物理的自然方向而發展。但不論文明會向什麼方向發展，只要它有能力將其文明發展至「極限」的程度，它們都會遭遇到同樣或同質性的兩大難題：
（1）形式上的矛盾性。

（2）實質或存在之「自體性」。
34、其實這兩個問題是同一個問題之兩面，這在Set Theory裡已說得很清楚了，或我們於此也可以統一地以「自體」稱之。儘管西方文明（尤其是科學）偏向於形式認知方面的發展，而中國則偏向於屬人「生命」存在性的方面發展。（然而，）除非它們都不涉及於工具性功能的表達（如文字、符號等），否則所有的形式之工具性的表達，於其終極上不可能不觸及於「自體」或「矛盾」的結果。
35、形式的自體只要自此再進一步觸及於屬人主體性之原創部分，或中國屬人生命自體之存在性的表達，一旦觸及於現實或時代（如西方以科學征服並同化了全世界）性精確表達之要求，我們就會脫離那些傳統性所稱「棒喝」、「話頭」「案例」、「機峯」等完備（卻）「曖昧」性之表達方式，與西方之形式自體間形成一種連接式之統合的可能，這樣我們就可以在「形式」與「内容」無所偏廢的情形下，找到了一種「人」與「形式」間所有可能縫隙之填補的功能，並成為一種（新）「人類之人」之誕生，其實這也就是（新）「人類之人」的新文明形成之最佳契機與基礎了，而它關鍵性名字就叫做「自性」或「自體」。

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[1]非歐幾何（Non-Euclidean Geometry）指數學上的非歐幾里得幾何，簡稱非歐幾何，屬多個幾何形式系統的統稱；與歐幾里得幾何的差別在於第五公設「平行線理論」能否被證明的問題，此爭議持續了兩干多年。