《東西文明會通之哲學要點：自然數及其意義之延伸》三十四、關於自然數及其意義之延伸(二)

史作檉先生以哲學「還原」（reduction）或導源方式，透過對「數」(「1」)序列無法窮盡性表達系統的反思，扣緊「第一項」(從「1」返回「0」的所謂「無數可數之數」)與「最末項」(從1 →向前到無限「∞」的所謂「數外之數」)的內涵探究，而提出f七點: (1) 由「數」的形式表達之「極限」(即「∞」)中所被「逼現」出來康托爾（Cantor）「最大的集合(Set)無法包含自體」原則。與(2) 必遭遇「矛盾」現象的哥德爾(Gödel)「不完備定理」（Incompleteness Theorems）其本體論意涵，即任何（完備）系統，當其形式設定之初，即無法含有「自體」性的第一項。(3) 也就是從以「統計」、「可能率」或「公設」等方法，去正視其「矛盾」、「不完備」、或「沒有自體」、或「∞」(一種數外之「數」)， (4)以及從「1」反思「0」(「無數可數之數」)所涉及的「形式之設定項」、「存在的第一項」」，或「發生項」的理想與根源之追求。(5)簡言之，即數學的真正追求就在「∞」（即一如Hilbert所言之完備系統），但在Gödel來說，這根本是不可能的事，因為任何（完備）系統，當其形式設定之初，即無法含有「自體」性的第一項。 (6) 如此，從數學一路發展，乃至到誕生computer、更進步到Ai，甚至擴大到東西方文明複雜，都會因此而共同走向一種「形式表達的遞減歷程」的普遍文明與人文的危機，從而去激發、去還原到「人」乃至與「自然」「朝存在回歸遞增」的直接關係，(7) 去證明其之「三元論」與突顯人自體(居中間項)的起承轉合的關鍵地位。(改寫黃信二先生之表述) 」 (2025年3月31日) 

三十四、關於自然數及其意義之延伸(二)

1、「數」之「向後數」是因為我們業已習慣於一種「向前數」之自然數之存在事實，所以我仍想要標榜另一種不是「向前數」之數的時候，我仍只好把它稱作「向後數」的數來數。

2、其實我仍認為自然、習慣而且業已成為習慣的「數」是一種形式上最後所出現的「結論」。所以當我們不得己把「數」稱「向前數」或「向一種數先或後，還很難加以後數」的時候，實際上，在內外之間，那判定呢!

3、所謂「向前數」之「數」，就是我們所習慣之以「1」為起始數，然後按照它的「後繼數」向前數。但這樣數的結果並不理想，因為這樣數下去的結果並無法產生一「最後數」，也就是我們所稱之「最大數」。不得已，我們以「∞」代表之。

4、「最後數」並不等於∞。自然數若真有第一數。就應該有最後數，那就等於說∞已包含在自然數之序列之內了，否則，∞就是自然數以外之數了。
5、若一般以形式言「數」即自然數的話，那麼∞就不是一個形式之數，而是一種觀念，或一「觀念之數」。所謂觀念之數即非一形式之數，如以形式意義而要求之，即一自然數數外之數，或而內在之數。內在數、觀念數、最大數、最後數等，其實它們都是同一所指，即不是一個以形式可表達的形式數(如2、3、4等)。它們既屬內在或觀念，或它更具體的意思，即可以以形式表達之形式數的「基礎」，只是這個「基礎」是「數」向前數，數到最後才發現之數。但在另一方面來說，它即屬形式數之內在、觀念等之基礎，並不只存在於自然數可數的發現最後才存在或發現，即：它既為向前數之「數」的基礎，就不只存在於數的最後：甚至它也必存在形成一切形式數之最初，或可數之數之進行中。
6、其實這就是我們在前面所言向後數之數的原因，而∞只不過是種仍向前數數之習慣的一個結果。若∞、內在、觀念等的說明或意義，其主旨在於我們果然可以在向前數數之終結點上，終於以∞引出了一個使「數」果然成為可能之一種「基礎」的探討或要求。
7、所謂「基礎」並不是一個定點性的事物，反之，若以自然數而言，它是充斥在整個數背後的一個內在觀念物。若它出現（使）自然數之無解之∞，而必須從「數」之建立的基礎上，來尋求答案的話，那麼「數」之求∞之可能或基礎，和其找到或探求原本第一數之「1」之來源或基礎根本上是同一件事。
8、有怎樣的「1」（往前數）就有怎樣的「∞」（若為基礎），那麼有怎様的「1」（往後數）就有怎樣的「O」（亦可為基礎稱之）。「∞」為自然數可數之數以外之數（即一觀念或內在性的基礎）「0」即為自然可數之數以外之「不能數」之數。所以「O」與「∞」若相對可數之自然數而言，均為數外之數，亦均為不可數。本來「0」與「∞」若均為不可數之外之數，那麼它就不可以出現在可數之自然數之序列之中，那就是「0」與「∞」業已予以形式化而成為一類似自然數之數了。
9、可以數的「數」（如：1、2、3..•.n），與不可數或「數外之數」（如：0、∞）它們到底哪一種「數」先出現在我們的腦海中？即何「數」為先？或如0與∞果然是可數之數的基礎，那麼到底基礎（0、∞）與形式（1、2、3.n），它們之間，如可數之數與不可數之數之間的關係一樣，到底何者為先？由此再進一步言，若可表出即形式，那麼0與∞也以其形式化的形式，參與到「可數之數」的序列之中（一如我們現在所見到之習以為常之數或事)，那麼像這樣一種形式的序列(即0→1→2→3→n→n+1⋯∞)，在人類認知中究屬何義?

10、我之所以這樣說，或這樣問，有兩個根本原因:(1)以歷史言，「自然數」到底自何而來?如一般所言，自然數來自印度(約紀元前3000年頃)，後來傳至阿拉伯，才成為現在我們習用之阿拉伯式之數碼(或又如兩河流域alpha、beta、gamma等之關係)，
最後傳至希臘，才成為我們現在所知如歐幾里得(Euclides)所言之數或質數等。其實這些屬於歷史資料的問題，至今亦難以有所準確的考證，而且歷史所記也只在於形式，或約定俗成，都很難告訴我有關於今日(尤其至於廿世紀)我們所真正必須要知道是「數」之出現或其真義之事，所以，我之所以會這樣說，這樣想，主題不在於(1)，而是(2)，即:
(2)到底「數」之真義如何?或⻄方數學中一直在索問不止的是:What's number?
11、這樣一個小小的問句，卻是⻄方拼音文字文明「追求精確方法性表達」(的)中心性的題旨。儘管如此，在人類數千年的文明史中(或自希臘以至廿世紀之⻄方現代數學或數論)，要說給出一個關於「數」之既精確而又富實質性存在意義之定義，恐怕還是一件不大可能之中事。⻄方科學那麼發達，數學更是科學的根本基礎。但他們所謂的「數」或「數學」，主要仍在於有「數」的功義術的發揮(如計算與結構能與等)，很難說已及於數的「自體性」的意與發揮(如集合不包含其自體即一最佳例證)。

12、時至今日，在人類歷史上。尤其以西方科學或pure math來看，關於數的表現和探討可以由2個大領域。

第一，一各領域純屬數身之得以存在、發生的部份。其實道就是數之「自然」數之發生，亦即我們一般所習稱之「自然數」。至於「自然數」之歷史或發生的來源，已無法考察，就算是我們用盡力量去找出「自然數」之形式發生的淵源，恐怕就此形式性之資料，亦難告知我們它發生的真義究屬何者，甚至就此亦難告知我們「自然數」又如何成為我們日後所知，所謂「數學」之得以發展成那麼輝煌的成果之原因，尤以廿世紀⻄方數學發展之成果為最。

第二，或所謂自然數(包括，歷史與約定俗成等所有不明的原因)總其名日「自然」’或即無法以一個或多個原因來說明它的來源或原因，亦即(在)它以前似「無物」一般地，我們就把它叫做「自然」，或即它如此而「發生」了。但它都成為整個人類所共用的一種「語言」，同時更因它之屬於「自然」或「發生」，而成為後來所有數學發展並成型的一種很難加以完整解釋的「自然」的基礎。

13、事實上⻄方數學發展、進步，至19世紀末、20世紀才達到一個顛峰，其中更可以集合論、非歐幾何與公設法為其代表性的成就。或在廿世紀⻄方數學之大成就或大風潮中，更有兩個大的派別是我們所不能不提及的，那就是:
(1)Intuitionism(直覺論)
(2)Structuralism(結構論)
前者以Brouwer及Kronecker為代表43，後者則以Hilbert及Cantor為代表。所謂直覺論「數」或「數」之是一種精神性之心靈活動(action of mental, Brouwer語)是以其直覺與自然數比較接近，或

 (1)與布勞威爾(LE.性的證明基著名，曾，說他對:主「張上帝直創覺造主義了整可數以，看其作是結構論的理伯格的羅互內克)爾為特的結構論。(2)克(L.Kronecker1823-1891，德國數學家和邏輯學家，認認為。數學分析必須以整數為基礎，曾經說「上帝創造了整數，其餘都是人座的工作。」這跟數學家康托爾的觀點相互對立。

Kroncker亦多「數論」之論•，或者亦可說直覺論更近pure math反之，結構論者，不但改寫了自然數之數為基數，更由於它將∞接引人數的序列之中，更引起了直覺論者之大肆嘲諷與攻詰，儘管如此，⻄方數學之大改革早已成定局。其中更由於Hilbert之大力推舉，儘管其於純樸集合論中仍不可避免地遭遇了「矛盾」的結果，再加上連續統之無法證明，但它卻由於「公理」設定集合論，仍舊為現代數學開啟了新頁。
14、以上我之(所以)要做這樣的追述，是為了我要藉此而引申出有關數學之一些我主觀性之意念，諸如:歷史上的敘述之事件或派別等，往往只具有(某)時代或某切入點或形式表現上的意義，但並不一定可以完好地把一事件之中心或「全然」的意義加以說明或描述。所以，當我們碰到一個重要的歷史事件時，往往須要我們進一步更加深刻或(以)求其根源的方式，方能得到比較合理而整合的意義或說明。
I5、果如Gödel所說:所有形式都必來自於我們的「直覺」，如果說直覺與形式間沒有任何縫隙那就好了(那就等於說Hilbert之理想的「完備」系統就一個證、得以完成了，可是Gödel卻證明說那是不可能之事)。如科學本身就是充滿了形式辨系統(如logic、reasoning methodology等)，那麼作為科學基礎之數學更必是一個純形式系統，甚至由此我們也可肯定地說，數學本身或所有的數學都必具有或來自於使一切純形式表達(可能)之「直覺」的存在，並非只有某一種數學才是直覺的系統。
16、如果純數學都來自於「直覺」，那麼自古至今它可有兩種不同的表現方式:一種屬古典，一種屬近代。古典數學當然是指希臘，而近代即指20世紀以後的新數學。古典數學與近代新數學當然有很大的不同。至少古希臘數學並沒有什麼「直觀主義」之說。但就此我們也不能說：希臘數學就不是直觀主義。比如說：歐氏幾何之公設就是一種典型的直覺系統（即所謂self-evidence）。同樣，如以希臘數學本身而言，Euclides本身，他一方面是最早幾何學的完成者，另一方面它也是最早自然數或數論（如質數）的先驅者。那麼我們於此要問，到底在希臘或希臘以前，幾何學與算術（或自然數）何者為先？
17、一般言，幾何是一個結構性的完備系統，所以若比諸算術而言，應為一較複雜之推理系統，不可能是最早出現之數學。反之，算術或自然數，乃一百姓日用而簡約之計算性之序列，所以，它應該是比幾何要（更）早形成或出現。果然它之被稱為「自然」數，也就有其合理而早於幾何而出現的理由了。至於幾何若來自埃及之測地學，那麼自然數以其阿拉伯符號而早於幾何出現，在兩河流域那就更為合理的事實了。或自然數之稱為「自然」應該早於富「設計」之結構性之幾何恐怕也就是一個不移的事實了。
18、如果說，西方拼音文字所特有之符號性抽象思考的結果其代表之文明就是科學，而數學更是科學中純形式表達的基礎，那麼所有純形式表達之數學，不可能脫離直覺性之抽象思維而存在。所以，儘管當數學至於20世紀發展到最高峯的時候，由於對於「數」的觀念或其形式的表達，被分為直覺主義與結構主義，實際上，在其根本之基礎上，只不過以不同的「方式」來呈現有關「數」之觀念或「定義」罷了，要說二者之中有一完全脫離直覺而存在那是一件不可能之事。因此，若20世紀之數學如此，那麼由此我們可以肯定地說，即最早出現並作為其後一切數學根本基礎之「自然」數，就是一種Pure-Intuitionism（直覺主義或指導主義)。

19、由此而引申之，若原本之自然數以17世紀後至20世紀數學史中所言Intuitionism，或即為一Pure-Intuitionism的話，那麼這個作為後來數學之根本基礎或背景的自然數，其真義可使我們有很多不同的想法，如:

(1)「自然」與「數」間到底又是什麼關係?
(2)是「自然」使「數」可能?還是，因「數」而…….
(3)「數」只是「自然」的一種呈現方式?

(2)與(3)之間，看似類似或無關，實際上如以哲學觀之，所謂「自然」如果只是一個形容詞，或一種概括性的用法，這也許是無關緊要的一件事，但對嚴謹的科學或數學來說，事情就不大可能以這樣一種arbitrary的方式而處理了之。因為:

20、「自然」若真是那個存在性並無法為人所真知盡知之大自然宇宙，那麼我們對無法盡知之「自然」的處理方式，以中國傳統之方式來言，可能只有一種被人所易於忽略的原則，此即:如無自然，即無人的存在，無人，即無文明可言;而數學又是人類文明中最為純粹，簡要而又充滿合理性的認知系統，於此情形下，我們到底要怎樣合理而恰當地處理所謂「自然」數的存在呢?
21、如果我們真正把哲學的觀點放入這個那麼簡明扼要之自然數，自古以來，不但時間最早，百姓日用而習以為常，但它卻是至於20世紀發展出數學最高成就之根本基礎，於此一看似簡要之自然序列的數中，實際上卻含有了五種被大家所忽略之不同性質之「數」的自內然涵。最後才於紀元前3000年左右，終於形成為我們現在所稱為之自然數之序列。

22、而此五種不同性質之「自然數」即:

(1)「1」是形式設定項，亦即一般我們以自然數計數之起始項。如無「山」的存在，那麼所謂數或計數也都成為不可能的事了。
(2)[1→2→3→...]是「1」起始後之後繼項或數，而且也就是我們一般所謂每加1必增之歸納數，其數系中具有一致性，因1→2或2→3等其關係或單位均屬一致性之「1」的存在。

(3)以「1」為起始項之後繼項，同樣也只能數到設定性之某「n」項而已(n非終止項)，所以以「1」為始項之自然數，並無其終止性之最大數。所以，不得已，以∞表示之。但∞並非可由「1→n」項之自然數之內可數之一數，所以，若相對於一般自然數而言，∞是一「數外之數」，這等於說:

(4)一種數是我們所熟知熟知之1→n(即自1而數到n) 而有效之自然數。一種數四五。從我們所熟知的一到N之自然數最後所必逼現而出之此自然數以外之無限數(∞)之設定之數。如它一如自然數以「1」起始而向前數之「數」的系列，那麼同自然數而必逼現之「數外之數」「∞」它即(屬)以∞而起始之∞個∞之數的系列。(其實這就是Cantor Set theory的根本觀念，只是事實上無法將一個∞個∞的系列真實的表出，所以其連續統也難以證明。但其由Set Theory，到Naïve Set theory’再到Axiomatic Set theory已經是現代數學之輝煌成就了。)[1]
(5)「∞」是數或自然數(1→n)中之一個異數，原因並不在∞，它只不過是人在自然數中所無法達成之最後、最大、最具理想數的一個符號設定，甚至就如同我們以一種幾近arbitrary方式所設定之第一數之「1」一樣。原因是我們無從自「1」的設定第一項推導出理想之最後項，所以在設完第一項之後，最後不得已才得出同樣是設定之「∞」之符號項•反之，如果我們真能有一「非設定」之第一項的話，很可能我們就能推導出「非設定」之最終項來了。既然如此，我們又如何真能找出那非設定性之真正第一項（或即一存在項）來呢？
（6）自然數若真有存在性的第一項（即非形式設定項），那麼它的結果不是1，而1一∞。顯然使「∞」可能的第一項，既不是形式設定之第一項，那麼它就必是自1往後數之使自然數成為可能，但又不可能用一般自然數（1→n）可數之數。而此數或數之真正第一項，即相對於一般自然數，或如∞一般之數中之異數，即「0」的存在。
（7）「0」之為數，和「∞」頗為類似，因為它們都是不能以（1→n）之自然數所數之數。只是它們所佔的位置有所不同罷了。「∞」在1→n所數之極限的位置，而「0」卻在「1」向後數之作為數之可能之基礎（亦一極限）。同樣，假如一定要以1→n之自然數來數「0」與「∞」，最後我們就必遭遇「矛盾」與「自體」之兩大難題。
不得已，我們必須按事實的存在，我們將「O」與「∞」列為與1→n完全不同的數，而且它們既然不能以1→n之數而數，事實我們之所以把「O」與「∞」列為自然前、後而表示之，卻只是將「O」與「∞」形式化後而有之考慮再三，一個數千年來大家習以為常之自然數，其背後實際卻隱含了以上至少五種難以處理或解釋之屬於「數」之間之關係與內容。
今再整理一看，可列為以下：

(1)形式設定數如「1」

(2)由形式設定數而有之後繼數，亦即每加1必增之歸納數，如1→2→3→......
(3)每加1必增之歸納數，其有效性只止於有限之n項，面未能及於「無限」，是以∞為可數之有限數以外之數:亦即一般所言自然數以外之數。

前面，那麼它就不可能不涉及

(4)「0」是一不可數之數，如果它在「1」的形式設定項之所以「發生」的基礎的問題。或「0」就是自然數之基礎項或發生項，其實，它的存在可能就是自然數之真正第一項，但以其為發生性之基礎項所以無法以「1」形式出之不得已仍以「0」表示之。
(5)本來0與∞就不是自然數 1→n之間之一數，所以他也不可能以1→n的自然數來數。
若相對於形式設定之1→n之自然數而言，如上所言，它就是自然數以外之不可數之數。或具體而言，這數外之不可數之數，既不是形式設定數，或即一觀念數、基礎數、甚至是具有內在存在性之自體數。本來它不可能是我們現在所曾用之自然數序列中之「0」與「∞」，或我們現在所習用的0→1→2→3……n→n+1……∞自然數序列中之「0」與「∞」只是那觀念性自體數之「形式化」面有而此「0」與「∞」形式化之功能，剛好就此而釐訂了我們所習用1→n之自然數兩大極限，同時也正有此自然數中之兩大極限的可能，才使我們擁有了1→n之形式與設定數之「設定」的可能。
24、假如我們真能不拘泥於人類全體例行了數千年之人類共用語盲之設定性高之自然數序列之「形式」性之功能，及其直到如今⻄方文明已將其形式操作中所達成之輝煌成果，而果然以自然數本身來看其之所謂「自然」數之諸多被人所忽略之原本存在之「自然」之真義，我們就會發現：如Gödel所言「完備而不一致」，「一致而不完備」原則，一切形式設定系統，都會遭遇矛盾或不能證明其真偽的問題；實際上，這些問題，大半都是由「公設法」與「集合論」而來。本來集合論以「∞」為基礎，或以「class」及「基數」代換自然數之簡約形式所可能遭之無終極性及發展的困難，果可逃避了自然數之簡明扼要如自然公設一樣的「自然」性，並可製造出更複雜的形式結構，而果然為現代數學如Hilbert所言，開拓出天堂般的花朵來。實際上，現代數學由於集合論與公設法的結合，確實以另一種擺開簡明、自然而抽象之自然數之近代數微積分之極限方式，面對「∞」之無奈與尷尬。
但另一方面，無論如何，不論是Class、｛｝或Cardinal number仍舊是另一種形式說理之計算而已，果然，它也終究無法完全脫離一切形式設定都必不含其「自體」之難題。總之一句話：西方數學近3000年的歷史，其改變的只是在一形式設定方式下之方式、計算、證明或推演的改孌，至於說，其於數或結構之本質從來就沒有改變過。其實這就是Gödel's proof之真義所在。此即：
25、數學的真正追求就在「∞」（即一如Hilbert所言之完備系統），但在Gadel來說，這根本是不可能的事，因為任何（完備）系統，當其形式設定之初，即無法含有「自體」性的第一項。
26、其實Gödel的這些思想和根本法則，（是）可以既肯定、合理而準確地應用到人類文明之各個不同的表達範域或區域文明。比如說：一切以某工具、文字、符號加以完成之形式設定性之表達傳統，或一切具有二元極限式之表達系統，都必可以以Gödel定理來加以清楚地檢視。如:

存在與表達
內容與形式

絕對與相對
個別與全體
靈與肉。

等等。
除非我們肯定接受一元絕對之獨斷系統，如一元屬靈之絕對一神論之基督教，則當別論。其實，當我們一旦言及「絕對」一事或一名詞時，它本身業已是一形式之設定物了。不過，對於「人間」或「現實」間來說，也許一種超形式之一元絕論，以Gödel證明來看，它剛好就是一種「人間」所必有的一種不得已對之之必要的選擇或決定。

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[1] 44(1)Cantor Set theory康托爾集合論，由德國數學家格奧爾格•康托爾在1883年引入，康托爾和其他數學家雙定了現代點集拓撲學的基礎。(2)Settheory集合論或稱集論，是研究集的數學理論，包含集合和元素、關係等最基本數學概念。(3)Naïve SetTheory樸素集合論，保羅•哈爾莫斯(P.Halmos,1916-2006)，生於匈牙利布達佩斯的美國數學家，主要研究機率論、統計學和泛函分析。(4)AxiomaticSetTheory公理集合論，是用形式化公理化方法研究集合論的一個學科，數理邏輯的主要分支之一。以上資料引自維基百科