《科學、哲學與幾何學的空間表達》八、幾何學的諸多意義

案: 

從孔子所說的下學而上達來看，那符合史生先生所提到的，透過形式上的極致表達逼顯(現)所遇到的終極矛盾、不定、設定、不含自體，看到屬於生命存在心靈道德的真實性這種方式，是他所最認取的。相對，有一種是形上的演繹，像牟先生講性命天道，就是一種形上的演繹，它缺少的就是下學上達過程中，那一種真實的辯證考驗的真實性，而只是可以用一個演繹的方式，透過一個根本的唯一的原理(如心體)，來加以做許多概念上的連結、疏通，或者貫穿，或者延伸。而基本上，那種方式固然可以在演繹中而開展，但終究有一種沒有落實的具體真實性。所以在這本書裡頭，史先生其實已經有提到在觀念跟形式相互關聯中，會有一個作為二者基礎的統合者，這裡就有他知道現在所一直提到的三元論的出處。這也是哲學跟科學不同的地方，科學不會涉及到這一些存在的內容，這些存在的內容，對於科學並沒有積極的意義，但真正的哲學正好相反，它必須從對一存在的形式表達的極致去反證出一種觀念的真實基礎。

康德曾以二律背反呈現的古典哲學的矛盾，其實那同樣也是數學的矛盾，或一切形式表達的矛盾，只是康德並不曾遭遇到現代數學發展成果的罷了。(八、幾何學的諸多意義，頁91)

人類越懂得知識表達中，所必然呈現的矛盾性，變越能夠了解，具有窮盡性的形式表達的約定性，人類越知道這個形式表達的約定性，便越能夠以一種更精確的方法，而使人類的表達趨近於真實的可能。哲學之以及信念性，常取於數學者在此。而非歐幾何之所以給世人帶來及待的震驚者也在於此。(八、幾何學的諸多意義，頁92) 

 

八、幾何學的諸多意義

埃及幾何學來自於土地測量這件事，成屬於一個眾所周知的普通事件。但是於此假如我們以哲學的觀念，對此事加以分析，可以得到兩個基本的要領：

(1)埃及人為了尼羅河氾濫，每年必須重劃土地的面積，而發明了幾何學。毫無疑問的，對於早期的埃及人來說，幾何學只不過是一種手段，或一種方法罷了，他的目的在於獲得土地測量面積的結果。

所以對於早期的埃及人來說，對於幾何學既無所謂「學」可言，更無所謂，實用性或理論性可言。至於這種埃及人早期測量土地的方法，果然演變成為有關實用性或理論性的探討，這完全是後來的人，擺脫了土地測量的事實，而將此方法本身當作對象，來加以討論所完成的學問的結果而來。只是像這一種純理論探討的幾何學的完成在於希臘人就是了。

由此可知，以此方法來測量土地是一回事，而將此方法當作對象來探討，又是一回事，這樣不但形成的幾何學，同樣也形成的幾何學的實際使用與理論或純粹的探討。雖然如此，關於幾何學的使用與理論的探討，往往並不是一件單純的事，因為這埃及到現在，不但與使用上有三種不同的方向，同時在理論上也有出現三種不同的方式。

如果使用性而言，他的三個方向為：

1一般物理世界的使用，如測量土地，或一般有關運動或面積的計算等。

2哲學或形上學的使用，如柏拉圖以幾何學為探討或呈現靈魂或理念的結構等。

3實體物理學的使用，如非歐幾何應用於相對論的的世界。

如以理論來說，他有三個方式為:

1古典幾何學，及歐幾里得所完成的歐氏集合。

2近代幾何學，如拉布切夫斯基等人所完成的非歐幾何學。

3絕對或自然及科學，也就是對於歐氏集合與非歐幾何所引起的衝突，而設想的徹底討論空間自體的幾何學。實際上，這只是一種設想，卻無論如何不能成為一種科學的事實，因為他已經涉及到「自體」與「整體」的問題。

毫無疑問的，如與現代科學而言，以上三種所說的使用方向和三種理論方式之中，至少有三項被排除掉了。這就是一般以及形而上的使用方向和絕對的幾何空間的探討。

這樣一來，在現代科學中真正要討論的問題，便只剩下了使用3以及理論的1跟2，換句話說，也就是以科學來探討物理實體空間的問題，其實這就是我們在上面所指示愛因斯坦關於幾何空間的問題。

或者如以愛因斯坦的觀點來說，有一物是具有邏輯一致性的空間的集合表達，有一物是與將此空間的表達加以檢證的物理的實體世界。這樣假如說，我們說已經貨有的幾何的空間表達，不但完全符合與物理的空間世界，同時其本身更具有全然一致的確定性，那誠屬理想之事。

但事實上這兩者的關係，卻往往不是如此。因為除非說幾何學的存在，和物理的空間世界並不相涉，否則我們就得不到全然一致而確定的幾何學。說起來這實在是一件耐人尋味的問題，我們是想看，如以哲學的觀念來說，其中的問題關鍵或者困難，到底發生在什麼地方? 關於這個問題，我們可以以下來做設想:

1.物理學家所說的實體，到底是一種具有自體性的實體呢？還是一旦經過某一種空間方式控制之下的實體呢？比如說像視覺，知覺或者某一種計算方式等。如果是一個自體性的絕對實體（其實這根本就不是科學的對象），那麼很顯然的，人面對了這一個自體的存在，所真正要研究會努力的，只是人想要達成這一個自體真正認識的方法的研究罷了，並不再有我們想像中的方法與自體之間的驗證存在著。

換句話說，也就是只有方法跟方法之間的驗證。假如說就此還存有方法與實體之間的驗證的可能，那便是只是「什麼仍不是實體」的結果法則，而不是「什麼已是實體」的結果。

甚至一切方法與方法間的驗證，也必須以此法則為前提，才能夠真正的實行之。因為假如說，人以任何方法，果然將自體的建議加以表達獲得，那麼實際上一切屬於方法的問題，通通就不存在了。

2不過事實上並非如此，所以物理世界，它所告訴我們的，只不只是通過一連串邏輯性，或者層次不同的方法的變換方法，指向於一個自體性實體存在的可能，卻永遠都不是那個實體的全然存在的本身。這樣一來，當我們說幾何與實體之間的關係時，往往並不是我們所設想的幾何(G)與實體(R)的關係，而是幾何與以某一種方式所控制實體的關係，如(視覺)的幾何(G)與實體(R)的關係。

雖然以科學或一般經驗的方式，來設想實體時，總不外視覺、知覺、與某一種計算三種方式，但就理論的實際來說，它卻可以有無數種，同樣的幾何的存在，總不外歐氏幾何與非歐幾何兩種。實際上，它就可以為無數種。由此我們可以知道，當我們說幾何與實體之間的關係時，往往是那無數種的關係，而不是真正的幾何與實體(G對R)的關係。

3由此可知，一切只是方法與方法之間的關係，而不是方法與實體之間的關係，甚至也不是主觀的實體與客觀實體的關係，而哲學與科學之間的不同，就在於哲學對此實體的問題保留一種存疑的態度，同時也唯有如此，它才能分辨兩種不同的方式，

一種是對象呈現形成的方式，

一種是處理對象的方式。

於是，由此我們也就將科學無形中現實限制在方法與對象之間，其實說起來，這同樣也就是康德知識論的根本精神。所不同的，只是將科學中的現代數學方法轉換為先驗的純粹理性，但這也因此不能不引申出一個超越現象，並不被人所盡知的本體來。

所以說，假如我們以科學來是介於數學與經驗之間的產物，那麼哲學就是介於純粹理性與本體之間的產物，而本體之不可窮盡，其實就是理性的不可窮盡，但也為其理性是不可窮盡之物，所以一切屬於本體問題的解決，並不能不訴諸於超越與理性的實踐的道德世界。

這在科學來說，無論如何，總是一件非常怪異的方法途徑，不過這卻是一種哲學的真正本色，因為任何真正的哲學家都必定知道，只要是方法的存在，無論是先驗的，也好還是經驗的也好，都終極沒有不是矛盾的。

所以說，若對於實體或本體的問題來說，在終極上，往往並不是問題的解決，相反地卻是超越與矛盾或方法所對於問題的消除，而且消除的唯一可能，就是超越於方法，而進入到整體性的道德心靈。

像哲學這種方式，也許並不為科學所接受，但無論如何，人是哲學之意與科學的一種真實，要不然，我們就只有採取科學的方法，將一切超出數學與經驗的事物，一律給予擱置，只是不論其實連消除的過程，都沒有做到。

所以說起來，這實在是一件極其重要也耐人尋味的問題，同時也就因此，導出了科學史是愛因斯坦贊成，並推崇的彭加萊的約定主義（conventionalism)，或者在正式如愛因斯坦本身所說的：

除非說幾何學配合的物理定律的主張，否則它本身並不能說明任何真實事物的關係，如以G代表幾何，P表示物理定律，那麼人對於經驗的控制方法就是G加P，但在同另一方面來說，不論是幾何也好，還是部分的物理定律也好，都只是一種約定。所以說，假如我們想要消除幾何和物理之間矛盾的情形，唯一的方法，就是設法取得所有物理的定律，才能夠形成幾何與物理對於經驗的一致性。

面對這種情形，我們便可以知道，設定性的幾何和某些業已具有約定性的自然律則，在知識論的解釋上，實在是可以說是等值的。

其實說起來，這就是現代科學的一種最好的方法性的證言。同時這也是一種莫可奈何，並最具有效力的經驗說明。

如以康德的方法來說，這就是先驗與本體尋求科學的必然，但這也很可能就是人類一切形式表達的唯一結果。

只是在我們尚未做此決定之前，讓我們先擺開物理理論性及和所遭遇的約定性的結果，而從埃及人當初最早形成幾何的原始狀態，以發生的方式，再來做一番尋求。(頁79-82) 2025/2/27

(2)一般說起來，古代的埃及人，是一個愛好和平，又注重現實事物的民族，其豐富的想像力和其注重使用的心懷，可以說是無分軒輊，但是其抽象性的理論的結構能力，卻弱於希臘人之後甚多。

雖然說，當時尼羅河的傳教士已經開始對幾何進行抽象或理論的思考，但無論如何，真正能代表了埃及民族性和科學的產物，是統合的想像力與實用性的金字塔的完成，卻不是任何屬於抽象與形式的理論結構的創造。

所以說，儘管說早於希臘人上千年的埃及人，他們對於幾何學的資料或知識，並不會後於希臘人多少，但他們真正的目的或成就，仍不出面積計算的主要範圍，這辨識時的希臘史家希羅多德稱埃及人，因為因為測量氾濫後的尼羅河的土地，而得幾何學的原因。

由此可知，埃及的幾何學，如期根本的意義，在於計算面積，那麼當時的埃及人已經了解的非常清楚，也就是必須將一塊形狀不確定的土地規劃成為可以確實測量的形狀確定的很多塊土地，然後才能加以真實的測量。而這種情形在歐氏幾何中，我們也可以了解的非常清楚，也就是埃及人當時所規劃的圖形，可以有四種基本的圖形，也就是三角形，正方形，長方形，以及圓形。

    但是於此假如我們從這四種圖形中，在求其根本，那麼我們也可以發現，真正圓形的規劃，不但很少，同時也很困難。如果說是曲線不定的弧形土地，如按照微分的方式來說，往往需要一很多個小長方形，以求其近似。而正方形又與長方形近似，再者長方形又比正方形在實際的情形中更為普遍。

所以說在實際的測量中，如標準的圖形與正方形的計算方式，為計算的根本，那麼長方形卻是規劃的基本圖形。單位的長方形規劃上面的方便，在於簡化，也就是作為幾何學真正圖形基礎的三角形的存在，其面積為長方形的一半。

因此，在古典幾何學中，我們知道了三角形的性質，實際上等於了解了一半的幾何學。甚至作為現代及科學先導的平行公設，或三角形內角和的問題，也無不與三角形有著不可分的關係。所以說假如我們以埃及幾何學得根本問題，在於球面積，而面積的問題，又在於以上所說的四種基本圖形，其實那等於說三角形的存在，及古典幾何學的基礎的意思。那麼現在我們在仔細的分析以上所說古典幾何學的作業過程，可以得到三點重要的意義。

1、埃及幾何的存在，包含三個基本步驟，也就是：

土地測量、到圖形設定、到面積計算

其實這就是科學，來自於一般表達的一種普遍的方式，或者我們也可以把它寫寫為：

對象、到形式設定、到計算或推演。

由此可知，所謂純理論的探討，其實也就是去其對象，而專門以形式設定圍棋開始的一種形式表達罷了。而希臘幾何學之為公設幾何學就是其中的例子。反之，若注重對象的存在，極為一個實用之學。埃及之幾何學如此。甚至若相對於數學而言，物理學為近使用之學，也在於此。

2. 假如我們明瞭了以上所說的有關土地測量，對象，使用等等意思，那麼我們就可以知道，古典幾何或歐式幾何，實際上就是一種圖形幾何。反之，若相對於歐式幾何的圖形的使用所使用性來說，現代的歐式非歐幾何及一種邏輯幾何。不過，當我們這樣分別的時候，實際上仍然只是就這兩種幾何的最大特徵而言，仍然不是其內部的全部。因為埃及的幾何學如果沒有它的邏輯性，自然也沒有可以達成他使用的目的，同樣的，非歐幾何假若沒有他的實用的驗證，也沒有辦法說明他邏輯經驗之間的一致性。

因此如果我們從圖形的實用性，與邏輯的理論性來看埃及現代幾何之間的根本差異，與其相關之處，我們便約能證實及希臘的幾何公設作為過度的重要性來。而這種重要性的根本關鍵，就在於公設的設定性上面表現出來。

換句話說，希臘歐式幾何學的公設，不但代替了古埃及，以及早期圖形幾何的純實用性，以成為一個存理論的結構，同時他也以公設的設定，成為現代非歐幾何的理論的發源地。至於其中詳細的意義，留待後面再詳加說明。

3.如果說，人類知識介於方法與對象之間，那麼如以幾何學的演變過程來說，對象越純樸而確定，其方法變越具有實用性，並且其方法與對象之間的同屬性也越緊密。反之，若其對象越精密而不確定，那麼其方法變越是形成一種高度理論的獨立性，並使其與對象間的統屬性，愈形疏離而不確定。

如前者為早期的埃及幾何學而言，那麼後者便是指「無限」的觀念展現後，近代精密的空間分析的幾何學而言，而其間之做為理論的獨立性的完成，能不能不以希臘的公設幾何為代表。不過如此以哲學的眼光，來看幾何學演變的諸多意義，我們又可以分為兩個層次來探討

(a)哲學思想的發韌，往往有兩個最基本的錄像，

一個我們可以叫做純樸的原始的追求，

一種是方法的終極性的追求。

所謂純樸的原始的追求，

我們正可以拿埃及幾何學發生的實例來探討。比如說，埃及人當時面對了一塊淹沒的田埂的土地，而是法進行面積重劃的時候，如前面所言，必須以圖形處理。但我們想想看，土地只是一塊土地，到底徒刑並不是出自於土地本身，反之，而是出於純主觀的形式的加與。當然由此我們也可以推論說，這一個主觀的形式本身，也可以說是來自於和純主觀形式完全相同的一塊土地。如我們的思考中有一塊三角形，而剛好就是因為我們所遭遇到的一塊三角形的土地而來。甚至就即便如此，但是人又如何將此三角形的土地，與以抽象化，而成為我們主觀的形式呢? 或是以主觀的形式，到底要如何與這一塊土地之間，取得一致，或者符合呢？

從表面上看來，這也許是一個單純的問題，但實際上，這確實自古以來，哲學上最根本的問題之一。柏拉圖是如此，甚至整個近代知識論，或康德的純粹理性批判，也無不以此問題為中心。但在哲學的領域中，人果然能夠對此問題完成一個徹底的解決嗎？假如能夠，實際上，它往往是一種超知識的解釋。假如不能，那麼在哲學中所有有關這種問題的討論，他在科學之外，所能真正令人獲得的，到底又是一種怎麼樣的成果呢? 

關於這個問題的解答，我們可以如下採取說明：

人類的知識的存在時常介於形式與經驗，或方法與對象之間，所以說，不但每一種經驗都必須藉著某一種形式加以表達，同時任何一種形式的存在，事實上也不可能不合某種經驗有著關係。也就是一種發生，或者符合、或者檢證的關係。

雖然如此，當人從事於某一種知識的表達的時候，根本就不可能同時將某一種形式和他所含有的經驗，或者某一種經驗和他所賦予的形式充分而無誤的加以表達，換句話說，一切知識，一旦經過表達，不是偏向於形式，就是偏向於經驗。

但在另一方面，又在人一旦將形式或經驗的發展趨向與極致的時候，越是會發現任何單向發展中的偏頗性與不可分性。

於是哲學時常由於這種人類在表達上，永遠無法解除的困境，若在追求其根本，便往往出現一種和科學全然不同的設想，此即所謂純粹的來源或就是原始或純樸的追索，也就是一個既不偏向於形式，也不偏向與經驗的純粹表達。

當然在另一方面，我們也知道了很清楚，像這種純粹的表達，實際上根本就不可能出現在表達之中，於是科學不但反對一切純粹事物的表達，同時也由此卻導出了哲學中一切屬於形上學或形上道德的可能的探討來。

這樣一來雖然我們可以弄清楚了哲學與科學的真正分析，但到底哲學中所謂的純粹，也不是一個單純的空洞的形式，實際上他所需要的卻是更徹底而完整的知識表達，此即以上所言哲學的第二種路向，即方法的終極性的追求。

(b)所謂方法的終極性的追求，

也就是說，在哲學中，假如由於超出於知識的探討而必然出現純粹的可能，並由此導致有關形上與和道德必然的話，那麼此一純粹的探討本身，往往也因此無法獲得一種屬於知識性的形式保障。

所以許多的古典哲學家，像柏拉圖、畢達哥拉斯，來自於近代的康德，都有一個共同的要求，也就是很想藉著一個純粹的形式表達，保障人類超知識的純粹探討的可能，並上證形上與道德的必然。

這在19世紀以前，哲學家所尋求這種純粹形式，就是數學。如與康德的方式來說就是數學本身對於人類知識或理性來說具有一種先驗的保障性。但是這種情形至19世紀，尤其非歐幾何以後，由於數學中各種矛盾的發生，早已經顯示不能保持古典哲學中，那種哲學和數學之間固有的關係與信心了

當然這並不是說就此我們要推翻哲學或數學的固有關係，甚至也不是在抹殺數學本身的形式價值。相反地，而只是說，自從19世紀以來，數學或科學有了這麼輝煌的成果之後，實際上，在哲學的領域中，不可能不重新調整哲學跟科學之間的關係，或尋求一種新的合乎實際的對於科學的接受方式，並設法使得哲學本身的信念的存在，立於不墜之地。

其實說起來，古典哲學對於數學採取一種先驗的理性的解釋，與其說是一種數學的本然，到不如說，古典哲學本身就建立在一個形上或道德的先驗基礎上的緣故。

但自從19世紀非歐幾何發明之後，由於數學完全獨立的形式發展，不但是數學的先驗性普遍受到懷疑，甚至更引起了對於數學本身之危機的設想。那麼數學，乃至哲學本身，是否真的會像一般所想像的陷於危機的困境之中呢？

其實我看是不會的。

除非說，人對於絕對、存在、時間空間等的追求，果然可以達到像我們所想像的絕對表達的程度，（其實這根本是不可能的）否則，我們便不能不承認，所有人對於一切種類的絕對的表達，永遠都只是一種人類偉大意念或信念的象徵性的具體的呈現，而不是那個絕對物的本身。

那麼於是我們便可以肯定的說，如果古典哲學中，一切有關先驗或超越的理論，都只在說明這一個信念存在的實在性的話，那麼一切近代科學或數學中，以約定主義所呈現的形式的窮盡性，剛好就是對此信念的一種形式的反證。其間既無任何真正或存在性的衝突或矛盾可言，也沒有任何危機可言。

相反地，假如與此歷史性的哲學與科學間的發展中，我們會認為果然有所危機或者矛盾存在著，那大概不是由於人的固執於絕對的可能可以達到，便是主張形式的唯一性而來。但是這兩種情形其實都是同一種不同程度的迷信罷了，並不符合於人的存在的真實，也就是沒有真實的哲學信念的緣故。

康德曾以二律背反呈現的古典哲學的矛盾，其實那同樣也是數學的矛盾，或一切形式表達的矛盾，只是康德並不曾遭遇到現代數學發展成果的罷了。

人類越懂得知識表達中，所必然呈現的矛盾性，變越能夠了解，具有窮盡性的形式表達的約定性，人類越知道這個形式表達的約定性，便越能夠以一種更精確的方法，而使人類的表達趨近於真實的可能。哲學之以及信念性，常取於數學者在此。而非歐幾何之所以給世人帶來及待的震驚者也在於此。(八、幾何學的諸多意義，頁75-92)